２次体(Quadratic Field)

まずは定義から…。

定義
dを平方因数を持たない(squarefree)有理数とします。

a,b∈Q のとき

a + b √d

の形をとる数全体の集合をQ(√d)とかき、２次体と呼びます。

ここで、

d>0 のとき、Q(√d)は、実２次体(real quadratic field)、

d<0 のとき、Q(√d)は、虚２次体(imaginary quadratic field)

と呼びます。

ここで、α=a + b √dに対して、

=a - b √d　(以降、ここではα~と書くこととする。）

をαの共役（きょうやく、きょうえき：conjugate）と呼びます。

ここで、αおよびα~は方程式、

X2 - (α+α~)X + (α・α~) = 0

の解となります。ここで、

S(α) = α+α~ = 2a

をαのトレース(trace)、

N(α) = α・α~ = a2-db2

をαのノルム(norm)といいます。

また、

Q(√-1)をガウスの数体(Gaussian integers)、

Q(√-3)をアイゼンシュタインの数体(Eisenstein integers)

と呼んでいます。

次に、２次方程式、

sx2 + tx + u = 0　(s,t,u) = 1、s>0

が、解にαを持つなら、αの定義方程式と呼びます。

ここで、s が１のときの、αを２次体の整数（または、略して整数）と呼んでいます。従来の、Zに含まれる整数を、有理整数と呼びます。

Qは有理数全体の集合、Zは有理数の整数の集合のことです。

ここで、次の定理が成立します。

定理
a,b∈Z　とする。αをQ(√d)の整数とすると、

d ≡ 1 ( mod 4 ) ならば、ω=(1+√d)/2

d ≡ 2 or 3 ( mod 4 ) ならば、ω=√d

として、

α = a + bω

の形をとる。

（証明）

α=a + b √d　とすると、

S(α) = α+α~ = 2a、N(α) = α・α~ = a2-db2

である。

（αは整数）

⇔　2a∈Z、a2-db2∈Z

このとき、

a2-db2∈Z⇔4a2-4db2∈Z⇔(2a)2-d(2b)2∈Z

∴　2b∈Z

ここで、2a=x、2b=y　とおくと、

a2-db2 = (x2-dy2)/4

⇔　x2-dy2 ≡ 0 ( mod 4 )

このとき、d = 4n + k (k = 1,2,3)とおくと、

x2-(4n+k)y2 ≡ 0 ( mod 4 )

⇔　x2-ky2 ≡ 0 ( mod 4 )

定理でωが特別な形をとるのは、k=1　（　d ≡ 1 ( mod 4 )　）のときであるので、

x2 ≡ y2 ( mod 4 )

となり、x,y がともに偶数なら成り立つし、奇数なら

x2 ≡ y2 ≡ 1 ( mod 4 )

でやはり成り立つことが分かる。つまり、

x ≡ y ( mod 2 )

であればよいわけである。

ここで、

x - y = 2z

とおくと、

α = a + b √d

= (x + y √d)/2

= {(y+2z) + y√d}/2

= z + {(1+√d)/2}y

これは、定理の

d ≡ 1 ( mod 4 ) ならば、ω=(1+√d)/2

の形になっている。

（証明終）

＜Q(√-1)：ガウスの数体(Gaussian integers)＞

ガウスの数体の定義については、上述のとおりです。ガウスの数体の中で、整数の集合を特に、ガウスの整域　Z[√-1]　といい、その元をガウスの整数と呼んでいます。

Q(√-1) = {a + b √-1:a,b∈Q}

Z[√-1] = {a + b√-1:a,b∈Z}

＜有理整数と整数＞

有理整数に関して、素因数分解の一意性というものが存在して、すべての自然数は、その正の素因数の積が一意的に決まるわけでした。これを一意分解定理と呼びます。ここで、素数に１を含めると、１は何回かけても元の数になるので、これは不都合なのです。

有理整数全体に関してはどうでしょう。たとえば、-6の素因数分解は、

-6=2×(-3)

ともかけますし、

-6=(-2)×3

とも書けるわけです。

p が有理素数なら、当然 -p も有理素数になるわけで、これらの組は、同伴素数または同伴といいます。

また、素数でも合成数でもない1や-1は単数と呼びます。

有理整数の一意分解定理
０以外のすべての有理整数を素因数に分解すると、因数の順序の置き換えや、同伴での置き換えを除くと、一意的に決まる。

有理整数の性質の確認を終えたところで、本題である整数の性質を考えていきます。

＜整数の単数について＞

有理整数の単数はその逆数も有理整数である、つまり±１のみでした。

では整数の単数はどのようなものでしょうか？

定義：整数の単数
Q(√d)の整数εは、ε|1　のとき単数と呼ぶ。±１は常にQ(√d)の単数である。

Q(√-1)のときを考えてみましょう。

ε = a + b√-1　(a,b∈Z)として、

N(ε) = a2 + b2 = ±1

とならなければいけないわけですが、明らかに、

a2 + b2 > 0

なので、

N(ε) = a2 + b2 = 1

このとき、

(a,b) = (1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)

の４通りあり、Q(√-1)のとき単数は、±1と±i　の４つとなることがわかります。

次にQ(√-3)のときを考えてみましょう。

-3 ≡ 1 ( mod 4 ) なので、

ε = a + bω　(a,b∈Z)　ω=(1+√-3)/2

とおくと、

N(ε) =εε~

=(a+bω)(a+bω~)

=a2 + (ω+ω~)ab + (ωω~)b2

=a2 + ab + b2

=(a+1/2・b)2+3/4・b2

>0

より

a2 + ab + b2 = 1

⇔( 2a + b )2 + 3b2 = 4

∴3b2 < 4　⇔　b2 < 4/3　⇔　b = 0,1,-1

b=0　のとき、a=±1

b=1　のとき、a=0,-1

b=-1　のとき、a=0,1

以上より、

ε = a + bω　(a,b∈Z)　ω=(1+√-3)/2

に、(a,b)=(1,0),(-1,0),(0,1),(-1,1),(0,-1),(1,-1)を代入したもの

±1,±(-1+√-3)/2,±(-1-√-3)/2

がQ(√-3)の単数となる。

d ≠ -1,d ≠ -3　(d<0)のときを考えてみましょう。

まず、d=-2のときは、

ε = a + b√-2　(a,b∈Z)として、

N(ε) = a2 + 2b2 = 1

とならなければいけないわけです。このとき、|b|≧1なら左辺は２以上になるためb=0である必要があります。そのとき、a=±1です。

次に、d≦-5 (d=-4のときは二次体ではない。）のときも、

ε = a + b√-d　(a,b∈Z)として、

N(ε) = a2 + db2 = 1

となり、b=0である必要があります。そのとき、a=±1です。

つまり、d ≠ -1,d ≠ -3　(d<0)のとき単数は±1です。

以上をまとめると、

Q(√d)　(d<0)の単数
d = -1　のとき、±1,±i

d = -3　のとき、±1,±(-1+√-3)/2,±(-1-√-3)/2

d ≠ -1,d ≠ -3　のとき、±1

d > 0　のとき、無限に存在する。

＜素数と有理素数＞

有理整数の素数は、０、単数以外でそれ自身とその同伴および、単数のみで割り切れる数と定義できます。同様にQ(√d)の素数も定義できますが、そのまえに、Q(√d)の同伴を定義しておきましょう。

Q(√d)の同伴
Q(√d)の０以外の整数α、βについて、α/βが単数になるときαはβの同伴である。

　

Q(√d)の素数
０、単数以外でそれ自身とその同伴および、単数のみで割り切れる数。

有理数の素数は、Q(√d)の素数と区別するために、有理素数と呼びます。

定理
αをQ(√d)の整数とし、N(α)が有理素数のとき、αは素数である。

＜一意分解整域(UFD unique factorization domain)＞　

既約元、素元について…。

既約元(irreducible element)
Q(√d)の整数の０でも単数でもない元aを、a= bc （b,c∈Q(√d)）と分解したとき、b または c のどちらかが必ず単数となるとき、aを既約元といいます。
素元(prime element)
Q(√d)の整数の０でも単数でもない元aが、 a|bc ならば必ず、a|b または a|c となるとき、 a は素元(prime element)といいます。

有理整数Zにおいてこの両者は同義でしたが、２次体においては一般に異なります。

　 まず定義から…。

一意分解整域
Q(√d)の整数全体の集合が、その任意の元αに関して、既約元の有限積として一意的にあらわされるとき、一意分解整域といいUFDとかく。

一意分解整域である２次体は、Q(√d)のdがどのようなときなのでしょうか？

実は虚２次体における一意分解整域をQ(√d)は次にあげるもののみとなることがアメリカのスタークとイギリスのべーカーによってそれぞれ独立に示されています。

虚２次体における一意分解性を持つd
d=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163の９個のみ。

ちなみに、実２次体における一意分解整域は有限か無限かすら分かっていません。

続く…

　２次体(Quadratic Field)

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