ウェアリングの問題 (Waring's Problem)

ウェアリングの問題はラグランジュの4平方の定理の一般化と考えてください。1770年イギリスの数学者ウェアリング(Edward Waring)は、次のような予想をしました。

ウェアリングの問題
数列 An: 1n、2n、3n、4n、5n、…、kn、…

が n によって決める次数の基底になる。

<基底とは?>

ラグランジュの4平方の定理を思い出してください。

4平方の定理 Lagrange's four-square theorem
すべての自然数は4つの平方数の和であらわすことができる。

これを言い換えると、

数列 A2: 12、22、32、42、52、…、k2、…

は4次の基底となります。これをよく、

g(2) = 4

とあらわしたりします。

ウェアリングは

g(2) = 4、g(3) = 9、g(4) = 19

を予想しています。20世紀に入って g(3) = 9 に関してはディクソン(Dickson)、Pillai、Nivenらによって示されました。このとき(1939年)、ディクソンはその9個必要なときは、

23 = 23 + 23 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13

239 = 53 + 33 + 33 + 33 + 23 + 23 + 23 + 23 + 13

の2数に限られることも述べている。

また、ヒルベルト(David Hilbert)、ハーディ(Godfrey Harold Hardy)、ヴィノグラードフ(Ivan Matveevich Vinogradov)らによって g(4)≦21 が示され、1986年には Ramachandran Balasubramanian らによって g(4) = 19 が示されました。

リウヴィル(Joseph Liouville)は g(5)≦53 であることを示し、ヴィーフェリッヒ(Wieferich)は g(5)≦37 までにしました。 さらに、1964年には チェン(J.-J. Chen) によって g(5) = 37 が示されました。

続く

 ウェアリングの問題 (Waring's Problem)